第四部份应力状态理论、强度．·理论与组合变形一，检查题1．证明题(1)图l所示微体，同时受正应力Oc，口，与剪应力fo，ff作用，试证明fJ与T，y的数值相等，即剪应力互等定理仍成立。图1图2(2)图2所示为一处于平面应力状态的微体，应力Oo，口hTt和材料的弹性常数i5／，／J均为已知。试证明檬方位的正应变为`；摹产品亡(1一／J)(Grx-~w)+(1+tx)(口。一e9)cos2a面衄一2(1+卢)r18iⅡ2口]2．是非判断题·试判断下列论述是否正确，对者画√，错者画X。(1)平面应力状态的斜截面应力公式(7—1)和(7—2)只适于弹性范围内；(2)圆轴扭转时，因横截面间的距离不变，所以横截面上没有正应力；()(3)当杆处于偏心拉伸或偏心压缩时，杆内的剪应力为零；(4)通过总弯矩JEf计算横截面上的弯曲正应力，只适用于圆截面杆。。—()3．图2所示①。②，⑧均为平面应力状态的应力圆、试画各应力圆所对应的主平面微体的应力图，并分另0计算最大拉应力、最大剪应力、最大拉应变和最大剪应变。已知材料的弹性模量Z二200GPa，泊松比／J＝0．25，剪切弹性模量O＝80GPa。图34．图4所示板件，受拉力尸＝10kN作用，试画横截面且上的正应力分布图，计算最大正应力。最小正应力以及横截面6与横截面C间相对转角。巳知材料的弹性模量召二200GPa。图45．图5所示皮带轮轴，转速。二500冒／rain，所传功率J1／，二40kW，材料的许用应力[O，嚣60MPa，试按第四强度理论确定轴径d。图522~116．图6所示铸铁圆截面轴，同时受扭力偶矩鲥和拉力户作用。已知轴径d二10mm,材料的抗拉强度极限口。二140MPa，拉力P二3kN,试问当扭力偶矩gt多大时轴表层开始断裂，断裂面的方位角甲为何值。图67．图7所示薄壁长圆筒，受内压F，扭力偶矩鲥和拉力户作用。已知圆筒的内径为，C，，壁厚为6，材料西许用应力为[口]，gI舅．DSp／8，户疠。D。尹／4，试按第三强度理论建立筒体的强度条件。图78．图8所示圆截面杆，受弯矩JLf与扭矩尸作用。在外力作用下，测得杆表面且点处的轴向正应变为 ed二5．0X10叫，B点沿与杆轴成45。方向的正应变为“，o＝4．5X10”。巳知圆杆的直径矗＝40illm~弹性模量丑二200GPa，泊松比／J＝0．25，许用应力仁O)二160MPa,试按第四强度理论校核杆的强度。图8二。答案与部分解答 l(1)略。1(2)证：由图9和公式(7—1)可知，口截面的正应力为．O'a二 o'~Ur-Ov．一／z5亏生cos2a一~,sin2a(a)而a+90。截面的正应力则为CZa4-eoo置生2：g：2…十旦《2主Iioos2(O+90。)一fJ8in2(口+90。)蕾生专纽一旦5：2：2ilcos2梯+，．sin2a(6)，图9由广义虎克定律可知，口方位的正应变为‘。：古(口。一弘口。"1'aQo)将式(o)、(b)代入上式，于是得 dd，百1歹[(1一／J)(口。+口，)+(1+／Z)(a．-一(，。，)．cos2a一2(1+弘)~．sin2a)2．(1)X；(2)X；(4)√。2(2)解：从圆截面轴的楔形体内卢处(图10,。)切取一微体abcd如图10(乙)所示。(O)／0)图10根据扭转假设，该微体沿o。y。s轴方向的正应变均为零，即‘，＝c9＝e，黑U(O)由广义虎克定律可知， c，：古[fJ一／J(o',,-I-o。)]) cy二古[()／，一弘(O‘~+ctz门[(b) c：＝去[口。一"(o。斗口。)]／将式(o)代入式(b)并解联立方程组，即得口c二口9二口s二0由此可见，仅仅根据“横截面间的距离不变。即 s。蕾0，尚不能得出“横截面上正应力为零”即口，二0的结论。在§3—3中分析此问题时，共依据是：“微体既无轴向正应变，也无横向正应变”。前者即指cG＝0，盾者则指eo—c真二0。3(1)49／二。。＝40MPa f。。。＝40MPa君二。。二2．5XlO—‘ y肺。。二5．0X10-‘rad(2)口二。。出60MPaT。。。＝3DMPa，‘二o。二3．0X10—‘ yme，二3．75~10—‘raC3(3)解：由图3中可以看出，应力圃⑧为点圆，所以，相应的主应力为口1二0，98二口8寡一60MPa即二向等压状态，而最大拉应力和最大剪应力则分别为：口二o，胃口：二0， fotu二吁羞0+60二30MPa最大拉应变发生在最大拉应力即d真的方向，所以，最大拉应变为。置护乙‘二o，：古仁d：一／J(e真+口。)]‘古[0—0．25(一60—60)]葺1．5X10-4面最大剪应变则为 ymo，口守—丽30Nf啊3．75X10·‘rad4．口隅。。冒106MPa口饵t，峰58．7MPa99／O二3．94XIO·^rad5，d》75．6mm．6，解：用纵横截面从轴表层切取微体如图1l(。)所示，横截面上的正应力和剪应力分别为口—L_P r，摹畏—161R而相应的主应力则为+：：：号土届瞄鼍．2P：O真署0土／(2P》。十(16tOl·)。(口)(6)图1l根据上述分圻可知，由于ol~Os,且e，为拉应力，所以，宜采用窘一强度理论建立断裂条件，即圆轴表层开始断裂的条件为。真—2P；+√(2P》：+(医)。嚣oo由此得断裂时的扭力偶矩为 gl二对吼—4Po％-博．=X10a√140：一4X3X10sXl40霸23．4N·m由应力圆中可以看出(图11．西)，最大拉应力OI的方位角为甲板专馆叫誓曲争g“贺由此得!甲。‘喜tg-l?8X23．4X10$-溜40。277．解：用纵横截亩从筒壁切取微体，各截面的应力如图12厮示，其中： oo口号+·pD—识+碧蕾．pD．廖儡O●1 oJ摹碧7y—击Qc蛊—ioD．对于图示受力微体，相应主应力为：—．Orx-}-O~。土／(生亏生)。+f孚=pD．土．pD．口8＝0根据第三强度理论，得筒体的强度条件为Oreq．~1—。：—(，r。蕾祭[口] d．解：(”弯矩计算横截面上正点处的弯曲正应力为32M crA：；F所以，坏点处的轴向正应变为 ed二-(YA-二—32M；由此得横截面上的弯矩为J／＝气雾旦二·5X10：4X200X10SX=X40s＝6．28X10‘N·Him mr-'-"％lql=r图12图13(2)扭矩计算横截面上6点处的剪应力为Ts霭，16T、相应的主应力(图13)为1dQ7·(9Fl：一()r9‘T9‘…；；云『，所以，该点处45。方位的正应变为 e4s—去(d：叫，，)=半“161"、由此得横截面上的扭矩为9T二e4soEzdS．二9．05X10，N，mm(3)强度校核按照第四强度理论，危险点处的相当应力为口●e，产器／Ma+0．75Tz·- c子32面√丽互双＼1两巧：S下环而胃Z。i二159．8MPa≤[口]结论：轴的强度符合要求。；